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      中考数学求阴影部分图形面积复习

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      [导读]复习求阴影部分图形面积新题型 近年来的中考数学试卷中,围绕图形面积的知识,出现了一批考查应用与创新能力的新题型,归纳起来主要有: 一、规律探究型 例1 宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案,给出了如下几种初步方案,供继续设计选用(设图中圆的半径均为r...
                  复习求阴影部分图形面积新题型
      近年来的中考数学试卷中,围绕图形面积的知识,出现了一批考查应用与创新能力的新题型,归纳起来主要有:
      一、规律探究型
      例1  宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案,给出了如下几种初步方案,供继续设计选用(设图中圆的半径均为r).
        (1)如图1,分别以线段O1O2的两个端点为圆心,以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案,试求两圆相交部分的面积.
      (2)如图2,分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心,以其边长为半径,作出三个两两相交的相同的圆,这时,这三个圆相交部分的面积又是多少呢?
      (3)如图3,分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心,以其边长为半径作四个相同的圆,则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢?(2005年黄冈市中考题)
      分析  (1)利用"S阴=S菱形AO1BO2=4S弓形"即可;(2)利用"S阴=S△O1O2O3+3S弓"即可;(3)直接求解比较困难,可利用求补法,即"S阴=S正方形O1O2O3O4-S空白",考虑到四个圆半径相同,若延长O2O1交⊙O1于A,则S空白=4SO1AB,由(1)根据对称性可求SO1BO4,再由"SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4",这样S空白可求.
      解答  (1)设两圆交于A、B两点,连结O1A,O2A,O1B,O2B.
      则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓.
      ∵S菱形=2S△AO1O2,△O1O2A为正△,其边长为r.
      ∴S△AO1O2=r2,S弓=-r2=-r2.
      ∴S阴=2×r2+4(r2-r2)=r2-r2.
      (2)图2阴影部分的面积为S阴=S△O1O2O3+3S弓.
      ∵△O1O2O3为正△,边长为r.
      ∴S△O1O2O3=r2,S弓=-r2.
      ∴S阴=r2+3(-r2)=r2-r2.
      (3)延长O2O1与⊙O1交于点A,设⊙O1与⊙O4交于点B,由(1)知,SO1BO4=(r2-r2).
      ∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4
      =-(r2=r2)=-r2+r2.则S阴=S正方形O1O2O3O4-4SO1AB
      =r2-4(-r2+r2)
      =r2+r2-r2=(+1-)r2.
      二、方案设计型
        例2  在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园所占面积为荒地面积的一半.下面分别是小明和小颖的设计方案.  小明的设计方案:如图1,其中花园四周小路的宽度相等,经过解方程,我得到路的宽为2m或12m.
      小颖的设计方案:如图2,其中花园中每个角上的扇形都相同.
      (1)你认为小明的结果对吗?请说明理由.
      (2)请你帮助小颖求出图中的x(精确到0.1m)
      (3)你还有其它的设计方案吗?请在右边的矩形中画出你的设计草图,并加以说明.(2004年新疆建设兵团中考题)
      分析  (1)由小明的设计知,小路的宽应小于矩形荒地宽的一半,由此判断即可;(2)可由"花园面积为矩形面积一半"列方程求x;(3)可由图形对称性来设计.
      解  (1)小明的结果不对.
      设小路宽xm,则得方程
      (16-2x)(12-2x)=×16×12
      解得:x1=2,x2=12.而荒地的宽为12m,若小路宽为12m,不符合实际情况,故x2=12m不合题意.
      (2)由题意,4×=×16×12
      x2=,x≈5.5m.
        (3)方案有多种,下面提供5种供参考:  三、网格求值型
      例3  图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形.
      (1)直接写出单位正三角形的高与面积;
      (2)图1中的ABCD含有多少个单位正三角形?ABCD的面积是多少?
      (3)求出图1中线段AC的长(可作辅助线);
        (4)求出图2中四边形EFGH的面积.(2005年吉林省中考题)
        分析  (1)由正三角形边角关系来求;(2)仔细观察图1便可找到答案;(3)考虑到图1中AB=3,BC=4,∠B=60°,可作△ABC的高AK,构造直角三角形,再利用解直角三角形知识即可求得;(4)可利用网格构造特殊格点图形,再由求补法计算四边形EFGH面积.
      解:(1)单位正三角形的角为,面积为,
      (2)ABCD含有24个单位正三角形,故其面积为24×=6.
      (3)如图1,过A作AK⊥BC于K,在Rt△ACK中,AK=,KC=.
      ∴AC===.
      (4)如图3,构造EQSR,过F作FT⊥QG于T,则S△FQG=FT?QG=××4=3.
      同理可求
      S△GSH=,S△EHR=6,SEQSR=18.
      ∴S四边形EFGH= SEQSR -S△FQG-S△GSH-S△EHR=18 -3--6=8.
      四、图形对称型
        例4  如图,半圆A和半圆B均与y轴相切于点O,其直径CD、EF均和x轴垂直,以O为顶点的两条抛物线分别经过C、E和D、F,则图中阴影部分的面积是_________.(2005年河南省中考题)  分析  由题意知,图中两半圆和两抛物线组成的图形关于y轴对称,故y轴左侧阴影部分面积等于半圆B中的空白面积,所以所求阴影部分面积为半圆B的面积,即S阴=?12=.
      解答:.
      五、图形变换型
      例5  如图,矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm,AB在直线L上,依次为B、C′、D″,依次为B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°.这样点A走过的曲线依次为、、,其中交CD于点P.
      (1)求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长;
      (2)求的长;
      (3)求图中 部分的面积S;
        (4)求图中 部分的面积T.(2005年吉林省中考题)  分析  (1)要求A′C′,因长宽分别为2和1,利用勾股定理即可;(2)要求,因所对圆心角为∠ABA′=90°,半径AB=2,利用弧长公式即可;(3)因△A′C′D′≌△A″C′D″,故S=S扇形A`C``A``;(4)连PB,则PB=AB=2,又BC=1,故∠PBC=60°,∠ABP=30°,欲求T,由"T=S扇形ABP+S△BCP"即可.
      解答  (1)A′C′==(cm).
      (2)=×2=(cm).
      (3)S=S扇形A`CA``==(cm)
        (4)连结BP,在Rt△BCP中,BC=1,BP=2,
        ∴∠BPC=30°,CP=,∴∠ABP=30°,
        ∴T=S扇形ABP+S△PBC=×22+=(+)cm2.
      六、实际应用型
        例6  在栽植农作物时,一个很重要的问题是"合理密植".如图是栽植一种蔬菜时的两种方法,A、B、C、D四珠顺次连结成为一个菱形,且AB=BD;A′、B′、C′、D′四株连结成一个正方形,这两种图形的面积为四株作物所占的面积,两行作物间的距离为行距;一行中相邻两株作物的距离为株距;设这两种蔬菜充分生长后,每株在地面上的影子近似成一个圆面(相邻两圆如图相切),其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积.在株距都为a,其他客观因素也相同的条件下,请从栽植的行距,蔬菜所占的面积,充分生长后空隙地面积三个方面比较两种栽植方法.哪种方法能更充分地利用土地.
      分析:本题立意很新,要合理密植,充分利用土地,只需分别计算并比较两种方案的行距、阴影面积以及S和S.对应值小的即为合理密植.
      解  连结AC交BD于点O.在菱形ABCD中,有AB=AD,AC⊥BD,BO=BD.
      ∵AB=BD=a,∴BO=OD=a.
      在Rt△AOD中,AO==a.
      ∴S菱形ABCD=2×BD?AO=a2,
      S正方形A`B`C`D`=a2.
      设方法(1)中空隙地面积为S1,方法(2)中空隙地面积为S2.
      则S1=S菱形ABCD-SA=a2-a2,
      S2=S正方形A`B`C`D`-SA`=a2-a2.∵<1,∴AO<A′B′,
      S菱形ABCD<S正方形A`B`C`D`,S1<S2.
      ∴栽植方法(1)比栽植方法(2)能更充分地利用土地.
                  

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