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      猜想与归纳型问题

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      [导读]归纳与猜想型问题 1、猜想数式规律 例1(云南)观察按下列顺序排列的等式: ;;;;; ...... 猜想:第个等式(为正整数)用表示,可以表示成________________. 2、猜想图形规律 例2(河北课改实验区)观察图2所示的点阵图和相应的等式,探究其中的规律: (1)在④和⑤后面...
                  归纳与猜想型问题
      1、猜想数式规律
      例1(云南)观察按下列顺序排列的等式:
      ;;;;; ......
      猜想:第个等式(为正整数)用表示,可以表示成________________.
      2、猜想图形规律
      例2(河北课改实验区)观察图2所示的点阵图和相应的等式,探究其中的规律:
      (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式;
      (2)通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.
      3、猜想数值结果
      例3.如图,细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题:
      ()2+1=2    S1=
      ()2+1=3    S2=
      ()2+1=4    S3=
      ⑴请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;⑵推算出OA10的长;
      ⑶求出S12+S22+S32+...+S102的值.
      4、猜想数量关系
      例4(江苏连云港)(1)如图5,在梯形ABCD中,AB∥CD,,,E为AD边上的任意一点,EF∥AB,且EF交BC于点F,某学生在研究这一问题时,发现如下事实:
        ①当时,有;
        ②当时,有;
        ③当时,有.
        当时,参照上述研究结论,请你猜想用k表示DE的一般结论,并给出证明;
      (2)现有一块直角梯形田地(如图6所示),其中AB∥CD,,310米,170米,70米.若要将这块地分割成两块,由两农户来承包,要求这两块地均为直角梯形,且它们的面积相等.请你给出具体分割方案.
      5、猜想变化情况
      例5(山东青岛)四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索,我们还会发现更多的结论.
      (1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形(如图7),其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看.
        已知:在四边形ABCD中,O是对角线BD上任意一点(如图7);求证:S△OBC?S△OAD=S△OAB?S△OCD.
        (2)在三角形中(如图8),你能否归纳出类似的结论?若能,写出你猜想的结论,并证明:若不能,说明理由.
        课堂练习
      1.(2005年常州)如图,已知为等边三角形,、、分别在边、、上,且也是等边三角形.
        (1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的;
        (2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?写出变化过程.  2.(2005年北京丰台)已知:如图,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF。请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可)。
      (1)连结____________;
      (2)猜想:______=______;
      (3)证明:
      3.随着信息技术的高速发展,电话进入了千家万户,据调查某校初三⑴班的同学家都装上了电话,暑假期间全班每两个同学都通过一次电话,如果该班有56名同学,那么同学们之间共通了多少次电话?
        为解决该问题,我们可把该班人数n与通电话次数s间的关系用下列模型来表示:
      ⑴若把n作为点的横坐标,s作为纵坐标,根据上述模型中的数据,在给出的平面直角坐标系中,描出相应各点,并用平滑的曲线连接起来;
      ⑵根据图中各点的排列规律,猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上?如果在,求出该函数的解析式;
      ⑶根据⑵中得出的函数关系式,求该班56名同学间共通了多少次电话.
      4.定义:若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形,则称这个图形是自相似图形。
        探究:一般地,"任意三角形都是自相似图形",只要顺次连结三角形各边中点,则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割,称为1阶分割(如图1);把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割,称为2阶分割(如图2)......依次规则操作下去。n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数),设此时小三角形的面积为Sn.
      ⑴若△DEF的面积为10000,当n为何值时,2<Sn<3?(请用计算器进行探索,要求至少写出三次的尝试估算过程)
      ⑵当n>1时,请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1之间关系的等式(不必证明)。
      5.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连结得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五。后人概括为"勾三、股四、弦五"。⑴观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;......,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过。计算(9-1)、(9+1)与(25-1)、(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;
      ⑵根据⑴的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;
      ⑶继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;......,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过。运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m>4)的代数式来表示他们的股和弦。
      6.(2005年河南)空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示,是等边三角形,、是以为直径的半圆的两个三等分点,、分别交于点、,试判断点、分别位于所在线段的什么位置?并证明你的结论(证明一种情况即可)
      7.(2005年潍坊)如图,已知平行四边形及四边形外一直线,四个顶点到直线的距离分别为.
       (1)观察图形,猜想得满足怎样的关系式?证明你的结论.
      (2)现将向上平移,你得到的结论还一定成立吗?请分情况写出你的结论.
      8.(2005年锦州)如图a,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
        (1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论;
        (2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;
        (3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画山一个变换后的图形c(草图即可),(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由;
        (4)根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现.
      9.(2005年苏州)(1)如图一,等边ΔABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边ΔEDC,连结AE。求证:AE∥BC;
      (2)如图二,将(1)中等边ΔABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形,所作ΔEDC改成相似于ΔABC。请问:是否仍有AE∥BC?证明你的结论。
                  

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